filyb.info - Tag - Lycée

Devoir maison de mathématiques 17

Thesa — Thu, 13 Apr 2006 20:24:48 +0000

Voici des conseils pour le second devoir maison de mathématiques sur les probabilités.

I. Grattage et loterie

1. Calculs des probabilités

a. Arbre de probabilité

La construction de l'arbre ne pose pas de difficultés, il suffit de reporter les valeurs de l'énnoncé.

b. Calcul d'une probabilité manquante

Il n'y a que trois éventualités après G, dont deux ont leur probabilité connue. La troisième se calcule aisément à l'aide de cela.

c. Gain algébrique sur l'arbre

Ici, ne pas oublier la déduction du prix initial du billet. Ainsi, un perdant aux deux épreuves aura un gain algébrique de -10 €.

2. En utilisant une variable aléatoire...

a. Calcul d'une probabilité manquante

Pour calculer cette probabilité, il faut utiliser la donnée indiquant que p(X = 190) = 1 / 250. Cet évènement correspond à deux chemin, l'un étant connu, et l'autre comprenant la valeur recherchée.

b. Calcul d'un autre probabilité manquante

Ici, même principe.

c. Calcul de la loi de probabilité de X et de l'espérance mathématique E(X)

Ici, comme d'habitude, il faut calculer la probabilité de X pour chacun de ses valeurs, et appliquer la formule de l'espérance mathématique.

Jeu de fléchettes

1. Détermination de p₁ et p₂

Le calcul de p₁ est facile, il est donné dans l'énnoncé.

Calculer la probabilité de A₂ revient à calculer p[(A₁ et A₂) ou (B₁ et B₂)]. Remarquez que les données de l'énnoncé sont que, pour tout n > 2, p_{A_n-1}(A_n) = 1 / 3 et p_{B_n-1}(B_n) = 4 / 5. Comme A et B sont deux évènements contraires, il faut utiliser le principe des probabilités contraires (p(E) = 1 - P(E)). Ne pas oublier aussi les probabilités totales (les évènements incompatibles) pour pouvoir calculer l'union.

2. Pour un évènement n

Ici, on applique le même raisonnement qu'à la question précédente, mais pour l'évènement n. Concrètement, cela peut se faire avec un raisonnement par récurrence.

3. Suite géométrique

Pour prouver que u est une suite géométrique, il suffit d'exprimer u_n en fonction de p_n-1, puis p_n-1 en fonction de u_n-1, pour avoir u_n en fonction de u_n-1.

On utilise ensuite le terme général d'une suite géométrique, et on étudie la limite.

III. Tennis

1. Probabilités

a. Probabilité de perdre sachant que l'on a perdu

Comme on a la probabilité que le service soit réussis sachant que l'on a perdu le premier, il suffit de faire la soustraction à un, il n'y a que deux issues possibles.

b. Double faute

Ici, il s'agit de la probabilité de perdre les deux services depuis le début, en ne sachant rien.

c. Mise en jeu réussie

La mise en jeu réussie a lieu dans deux cas : soit le premier service est réussi, soit il est loupé et le second est réussi. Il s'agit donc de l'évènement S₁ et (S₁ et S₂).

2. Pari

a. Réussir k mises en jeu sur dix

Il suffit d'expliquer que l'on a une épreuve de Bernoulli, et une loi binomiale, et de donner la formule correspondante.

b. Calcul de l'espérance mathématique

X ne peut prendre que trois valeurs. Attention : le joueur gagne 10 F par mise en jeu réussie ! Pensez aussi que la denière des probabilité peut être calculée à l'aide des deux autres, c'est plus simple.

Calculez ensuite l'espérance mathématique, toujours la même formule.

Some english

Thesa — Wed, 12 Apr 2006 19:06:18 +0000

A l'intention des collés de TS1, ou de ceux qui ne veulent pas être collés...

Voici les réponses aux questions du sujet de bac The light of Day, fournies gracieusement par Aurélien...

anglais1-12-04-06.jpeg 463 ko
anglais2-12-04-06.jpeg 259 ko

Édition du 13 Avril 2006 :

Les deux images ci-dessus ne sont pas soumises au contrat sous lequel est disponible le reste du site.

Ce billet a sucité des réactions de la part de certaines personnes concernées. Je me suis engagé à en discuter avec elles, et je déciderai de ce que je ferai de ce billet après. Ce billet n'est aucunement en condradiction avec la loi française, il s'agit d'un problème de principe, dont je parlerai probablement ici une fois que tout cela sera réglé.

Je tiens cependant à préciser que ce billet est le seul et unique du genre, les autres concernants mes activitées de lycéen étant :

Géologie - Datation par la méthode du Rubidium Strontium avec OpenOffice.org 2, une feuille de calcul au format ouvert OpenDocument Calc permettant de réaliser des calculs fait en classe avec le logiciel propriétaire au format fermé Microsoft Excel.
Des explications pour chaque devoir maison de mathématiques. Ces explications ne donnent en aucun cas des réponses, ce sont uniquement des pistes, les conseils que je donnerai à quelqu'un qui me poserai une question à ce propos. Les notes de ces devoirs maisons ne comptent pas dans la moyenne trimestrielle, il s'agit uniquement d'entraînement, et je fais cela pour aider ceux qui peuvent en avoir beson.

Géologie - Datation par la méthode du Rubidium Strontium avec OpenOffice.org 2

Thesa — Sun, 09 Apr 2006 12:52:23 +0000

La méthode Rubidium Strontium est une méthode de datation radioactive utilisée en géologie. Cette méthode est au programme de SVT de terminale S.

Les géologues étant plus à l'aises avec des courbes qu'avec des formules mathématiques, il ne suffit pas d'entrer une formule dans une calculatrice scientifique pour obtenir l'âge de la pierre à dater. Il est possible d'utiliser un tableur (nous avons vu Excel en cours) pour faire la détermination graphique de l'âge.

Et c'est bien sûr possible avec la suite bureautique OpenOffice.org 2 (libre et gratuite). La méthode change au niveau de la détermination de la pente de la droite de régression, Excel l'affichant sur le graphique, OpenOffice.org Calc utilisant la fonction Pente.

J'ai donc fait une feuille de calcul que vous pouvez utiliser pour faire une datation au Rubidium Strontium : datation_au_rubidium-strontium.ods (12,4 ko).

Devoir maison de mathématiques 16

Thesa — Fri, 07 Apr 2006 19:03:59 +0000

Probabilités au programme, cette semaine.

I. Histoires de domino

Dans tout l'exercice, il n'y a ni ordre ni répétition.

1. Nombre de dominos du jeu

Il existe deux sortes de dominos :

les simples (deux chiffres différents) : pour les composer on prend deux chiffres parmi 7.
les doubles (deux chiffre identiques) : pour les composer on a sept possibilités.

2. Tirage de trois dominos simultanément

Pour faire les autres questions, il faut savoir combien de possibilités de mains différentes existent : on tire 3 dominos parmi 8

a. Possibilité d'avoir trois doubles

On tire trois dominos parmi 7, et on divise par le total de possibilités.

b. Au moins un double

Ici, on peut faire trois cas : un double et deux simples, deux doubles et un simple, trois doubles (cf. a). Les ensembles étant disjoints, on ajoute, et on divise par le total de possibilités.

c. aux moins deux dominos où figurent le six

Il faut déjà calculer le nombre de dominos où figurent le 6. Pour faire cette sorte de dominos, on met un six et ont prend un autre chiffre parmi les septs.

Ensuite, deux cas : deux 6 et un non 6 (nombre de possibilité = nombre de possibilités total - nombre de possibilités de 6), ou trois 6.

II. Machine binaire

a. Nombre de codes distincts

Ici, on fabrique des codes en prenant un chiffre parmi deux, avec ordre et répétition.

b. Variable aléatoire du nombre de 1

Ici, X peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. Pour chacun de ces évènements, il faut calculer le nombre de possibilités, et le diviser par le nombre trouvé en a. pour avoir la probabilité.

Exemple : pour (X = 2) : code composé de deux 1 et de deux 0, on choisit deux places parmi quatre (sans ordre et sans répétition - puisque l'on considère le nombre de un, et non leur place) pour placer les un, et on complète par deux 0.

Ensuite, on fait le joli tableau, on vérifie que la somme des probabilités est de un (très utile), et on calcule l'espérance mathématique avec la formule E(x) = Somme_i=0⁴ X_i×P_i.

III. Jetons

1. Tirage de quatre jetons simultanément

Ici on a un tirage sans ordre ni répétition, donc combinaison.

2. Quelques évènements

Dans tout le reste, il n'y a ni ordre ni répétition.

a. Probabilité de B

Pour former 2000, il faut tirer un jeton 2 parmi deux, et trois jetons marqués 0 parmi 4.

b. Probabilité du reste

Probabilité de A : comme il n'y a que quatre jetons marqué 0, une seule possibilité.
Probabilité de C : on tire 4 jetons blanc parmi 6.
Probabilité de D : pour qu'ils aient tous la même couleur, deux possibilités : quatre blanc parmi 6 ou quatre rouges parmi quatre.
Probabilité de E : comme non E = A, p(E) = 1-p(non E) = 1-p(A).

c. Probabilité d'un évènement...

... que je suppose être P_C(B) = card(C) / card(B) (les deux cardinaux ont été calculés dans les questions précédentes).

3. Variable aléatoire de gain.

Ici, G peut prendre 5 valeurs. On calcule les probabilités les unes après les autres, c'est proche des évènements des questions précédentes, quand ce n'est pas similaire. Pour l'évènement (G = -5), il est plus facile d'utiliser 1 - (la somme des autres probabilités).

Ensuite, on fait le tableau, et on utilise la formule de l'espérance mathématique donnée ci-dessus.

Devoir maison de mathématiques 15

Thesa — Sat, 18 Mar 2006 16:34:15 +0000

Encore un devoir maison, ceux qui n'ont pas pu bosser parce qu'ils ont été à la manifestation ce matin sont excusés et peuvent lire ce billet sans remords.

I. entraînement au QCM

Je ne vais pas donner les solutions du QCM, mais juste une réponse à Bien réfléchir sur les différentes approches permettant d'obtenir rapidement le résultat : utilisez les fonctions complexes de votre calculatrice ! Pour certaines questions (la première notament), cela évite de fastidieux calculs...

II. Equations du troisième degré et forme exponentielle

Pour résoudre une telle équation, il vous faut tout d'abord vérifier que 0 n'est pas solution (car il ne peut s'écrire sous forme exponentielle) puis écrire z et l'autre complexe sous forme exponentielle (avec les deux solutions pour cosinus et sinus, dont uniquement une corespond, etc.). Souvenez-vous ensuite que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs modules et leurs arguments sont égaux, cela devient un système. N'oubliez pas que le à 2 Pi près se divise par trois (écrivez-le sous la forme +2k Pi). En prenant trois valeurs consécutives de k, vous obtiendrez trois solutions.

Une fois le dessin tracé, vous pouvez soit utiliser une rotation d'angle 2Pi/3 (méthode très simple avec la forme exponentielle), soit calculer la longueur des côtés pour prouver que le triangle est équilatéral.

III. Super-polynôme

1. Résolution algébrique

a. ib est solution...

Il suffit de remplacer z par ib et de développer le tout. Sachant que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales, transformez votre équation en système, et résolvez chacune des équations.

Rappel : un système, c'est deux (au moins) propositions reliées par un et. Donc les solutions du système sont l'intersection des solutions des propositions.

b. Recherche de Q ?

Posez des variables pour écrire Q sous la forme d'un polynôme du second degré, remplacez Q par son expression dans P, et identifiez.

c. Résoudre P(z)=0

Reprenez la forme de P de la question b. Et résolvez les deux facteurs du produit.

2. Amusements géométriques

Là, pas de difficultés, il suffit d'utiliser les formules du cours...

IV. Transformation

1. Quand z n'est que le fruit de votre imagination...

J'ai posé que z=bi, et ait prouvé que Re(z')=0. On m'a dit qu'il y avait plus simple.

2. Recherche de points invariants

Les points invariants sont les points pour lesquels z=z'. Résolvez l'équation obtenue.

3. Deux cercles

Remplacez z' par sa valeur dans l'expression à calculer. Quand M décrit le cercle de centre A et de rayon 2, la distance AM=2. Écrivez cela avec des complexes, utilisez l'expression que vous venez de calculer, et vous devrez normallement trouver le cercle que décris M'.

4. Ensemble E

Dans |z'|=1, remplacez z' par son expression, et vous devriez arriver rapidement à trouver l'ensemble (une médiatrice).