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Devoir maison de mathématiques 17

Thesa — Thu, 13 Apr 2006 20:24:48 +0000

Voici des conseils pour le second devoir maison de mathématiques sur les probabilités.

I. Grattage et loterie

1. Calculs des probabilités

a. Arbre de probabilité

La construction de l'arbre ne pose pas de difficultés, il suffit de reporter les valeurs de l'énnoncé.

b. Calcul d'une probabilité manquante

Il n'y a que trois éventualités après G, dont deux ont leur probabilité connue. La troisième se calcule aisément à l'aide de cela.

c. Gain algébrique sur l'arbre

Ici, ne pas oublier la déduction du prix initial du billet. Ainsi, un perdant aux deux épreuves aura un gain algébrique de -10 €.

2. En utilisant une variable aléatoire...

a. Calcul d'une probabilité manquante

Pour calculer cette probabilité, il faut utiliser la donnée indiquant que p(X = 190) = 1 / 250. Cet évènement correspond à deux chemin, l'un étant connu, et l'autre comprenant la valeur recherchée.

b. Calcul d'un autre probabilité manquante

Ici, même principe.

c. Calcul de la loi de probabilité de X et de l'espérance mathématique E(X)

Ici, comme d'habitude, il faut calculer la probabilité de X pour chacun de ses valeurs, et appliquer la formule de l'espérance mathématique.

Jeu de fléchettes

1. Détermination de p₁ et p₂

Le calcul de p₁ est facile, il est donné dans l'énnoncé.

Calculer la probabilité de A₂ revient à calculer p[(A₁ et A₂) ou (B₁ et B₂)]. Remarquez que les données de l'énnoncé sont que, pour tout n > 2, p_{A_n-1}(A_n) = 1 / 3 et p_{B_n-1}(B_n) = 4 / 5. Comme A et B sont deux évènements contraires, il faut utiliser le principe des probabilités contraires (p(E) = 1 - P(E)). Ne pas oublier aussi les probabilités totales (les évènements incompatibles) pour pouvoir calculer l'union.

2. Pour un évènement n

Ici, on applique le même raisonnement qu'à la question précédente, mais pour l'évènement n. Concrètement, cela peut se faire avec un raisonnement par récurrence.

3. Suite géométrique

Pour prouver que u est une suite géométrique, il suffit d'exprimer u_n en fonction de p_n-1, puis p_n-1 en fonction de u_n-1, pour avoir u_n en fonction de u_n-1.

On utilise ensuite le terme général d'une suite géométrique, et on étudie la limite.

III. Tennis

1. Probabilités

a. Probabilité de perdre sachant que l'on a perdu

Comme on a la probabilité que le service soit réussis sachant que l'on a perdu le premier, il suffit de faire la soustraction à un, il n'y a que deux issues possibles.

b. Double faute

Ici, il s'agit de la probabilité de perdre les deux services depuis le début, en ne sachant rien.

c. Mise en jeu réussie

La mise en jeu réussie a lieu dans deux cas : soit le premier service est réussi, soit il est loupé et le second est réussi. Il s'agit donc de l'évènement S₁ et (S₁ et S₂).

2. Pari

a. Réussir k mises en jeu sur dix

Il suffit d'expliquer que l'on a une épreuve de Bernoulli, et une loi binomiale, et de donner la formule correspondante.

b. Calcul de l'espérance mathématique

X ne peut prendre que trois valeurs. Attention : le joueur gagne 10 F par mise en jeu réussie ! Pensez aussi que la denière des probabilité peut être calculée à l'aide des deux autres, c'est plus simple.

Calculez ensuite l'espérance mathématique, toujours la même formule.

Devoir maison de mathématiques 16

Thesa — Fri, 07 Apr 2006 19:03:59 +0000

Probabilités au programme, cette semaine.

I. Histoires de domino

Dans tout l'exercice, il n'y a ni ordre ni répétition.

1. Nombre de dominos du jeu

Il existe deux sortes de dominos :

les simples (deux chiffres différents) : pour les composer on prend deux chiffres parmi 7.
les doubles (deux chiffre identiques) : pour les composer on a sept possibilités.

2. Tirage de trois dominos simultanément

Pour faire les autres questions, il faut savoir combien de possibilités de mains différentes existent : on tire 3 dominos parmi 8

a. Possibilité d'avoir trois doubles

On tire trois dominos parmi 7, et on divise par le total de possibilités.

b. Au moins un double

Ici, on peut faire trois cas : un double et deux simples, deux doubles et un simple, trois doubles (cf. a). Les ensembles étant disjoints, on ajoute, et on divise par le total de possibilités.

c. aux moins deux dominos où figurent le six

Il faut déjà calculer le nombre de dominos où figurent le 6. Pour faire cette sorte de dominos, on met un six et ont prend un autre chiffre parmi les septs.

Ensuite, deux cas : deux 6 et un non 6 (nombre de possibilité = nombre de possibilités total - nombre de possibilités de 6), ou trois 6.

II. Machine binaire

a. Nombre de codes distincts

Ici, on fabrique des codes en prenant un chiffre parmi deux, avec ordre et répétition.

b. Variable aléatoire du nombre de 1

Ici, X peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. Pour chacun de ces évènements, il faut calculer le nombre de possibilités, et le diviser par le nombre trouvé en a. pour avoir la probabilité.

Exemple : pour (X = 2) : code composé de deux 1 et de deux 0, on choisit deux places parmi quatre (sans ordre et sans répétition - puisque l'on considère le nombre de un, et non leur place) pour placer les un, et on complète par deux 0.

Ensuite, on fait le joli tableau, on vérifie que la somme des probabilités est de un (très utile), et on calcule l'espérance mathématique avec la formule E(x) = Somme_i=0⁴ X_i×P_i.

III. Jetons

1. Tirage de quatre jetons simultanément

Ici on a un tirage sans ordre ni répétition, donc combinaison.

2. Quelques évènements

Dans tout le reste, il n'y a ni ordre ni répétition.

a. Probabilité de B

Pour former 2000, il faut tirer un jeton 2 parmi deux, et trois jetons marqués 0 parmi 4.

b. Probabilité du reste

Probabilité de A : comme il n'y a que quatre jetons marqué 0, une seule possibilité.
Probabilité de C : on tire 4 jetons blanc parmi 6.
Probabilité de D : pour qu'ils aient tous la même couleur, deux possibilités : quatre blanc parmi 6 ou quatre rouges parmi quatre.
Probabilité de E : comme non E = A, p(E) = 1-p(non E) = 1-p(A).

c. Probabilité d'un évènement...

... que je suppose être P_C(B) = card(C) / card(B) (les deux cardinaux ont été calculés dans les questions précédentes).

3. Variable aléatoire de gain.

Ici, G peut prendre 5 valeurs. On calcule les probabilités les unes après les autres, c'est proche des évènements des questions précédentes, quand ce n'est pas similaire. Pour l'évènement (G = -5), il est plus facile d'utiliser 1 - (la somme des autres probabilités).

Ensuite, on fait le tableau, et on utilise la formule de l'espérance mathématique donnée ci-dessus.

Devoir maison de mathématiques 15

Thesa — Sat, 18 Mar 2006 16:34:15 +0000

Encore un devoir maison, ceux qui n'ont pas pu bosser parce qu'ils ont été à la manifestation ce matin sont excusés et peuvent lire ce billet sans remords.

I. entraînement au QCM

Je ne vais pas donner les solutions du QCM, mais juste une réponse à Bien réfléchir sur les différentes approches permettant d'obtenir rapidement le résultat : utilisez les fonctions complexes de votre calculatrice ! Pour certaines questions (la première notament), cela évite de fastidieux calculs...

II. Equations du troisième degré et forme exponentielle

Pour résoudre une telle équation, il vous faut tout d'abord vérifier que 0 n'est pas solution (car il ne peut s'écrire sous forme exponentielle) puis écrire z et l'autre complexe sous forme exponentielle (avec les deux solutions pour cosinus et sinus, dont uniquement une corespond, etc.). Souvenez-vous ensuite que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs modules et leurs arguments sont égaux, cela devient un système. N'oubliez pas que le à 2 Pi près se divise par trois (écrivez-le sous la forme +2k Pi). En prenant trois valeurs consécutives de k, vous obtiendrez trois solutions.

Une fois le dessin tracé, vous pouvez soit utiliser une rotation d'angle 2Pi/3 (méthode très simple avec la forme exponentielle), soit calculer la longueur des côtés pour prouver que le triangle est équilatéral.

III. Super-polynôme

1. Résolution algébrique

a. ib est solution...

Il suffit de remplacer z par ib et de développer le tout. Sachant que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales, transformez votre équation en système, et résolvez chacune des équations.

Rappel : un système, c'est deux (au moins) propositions reliées par un et. Donc les solutions du système sont l'intersection des solutions des propositions.

b. Recherche de Q ?

Posez des variables pour écrire Q sous la forme d'un polynôme du second degré, remplacez Q par son expression dans P, et identifiez.

c. Résoudre P(z)=0

Reprenez la forme de P de la question b. Et résolvez les deux facteurs du produit.

2. Amusements géométriques

Là, pas de difficultés, il suffit d'utiliser les formules du cours...

IV. Transformation

1. Quand z n'est que le fruit de votre imagination...

J'ai posé que z=bi, et ait prouvé que Re(z')=0. On m'a dit qu'il y avait plus simple.

2. Recherche de points invariants

Les points invariants sont les points pour lesquels z=z'. Résolvez l'équation obtenue.

3. Deux cercles

Remplacez z' par sa valeur dans l'expression à calculer. Quand M décrit le cercle de centre A et de rayon 2, la distance AM=2. Écrivez cela avec des complexes, utilisez l'expression que vous venez de calculer, et vous devrez normallement trouver le cercle que décris M'.

4. Ensemble E

Dans |z'|=1, remplacez z' par son expression, et vous devriez arriver rapidement à trouver l'ensemble (une médiatrice).

Devoir maison de mathématiques 11

Thesa — Wed, 01 Mar 2006 18:23:02 +0000

Comme j'ai un peu de temps, voici en première filybiale le onzième devoir maison de mathématiques, à l'intention bien sûr des élèves de terminale scientifique 1 qui ont compris que les vacances, ça servait à autre chose qu'à faire des maths.

I. Premier exercice

1. Factorisation

Les bons souvenirs de première S vous rappeleront que a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)...

2. Dans le plan complexe...

a. Petit triangle

Pour la nature du triangle, en calculant la longueur des côtés, c'est immédiat. Rappel : AB = |Zb-Za|.

Pour les coordonnées polaires, par contre... Il me semble qu'on a pas encore vu ça (ou alors j'ai louppé un bout du cours, après tout c'est possible). Mais d'après ce que j'ai lu dans le livre, la forme trigonométrique d'un complexe, c'est quelque chose comme : z = |z|×(cos(arg(z)) + i×sin(arg(z))). Pour en savoir plus, voir Nombres complexes - Formes trigonométrique sur Wikipédia.

b. Opérations amusantes (n'est-ce pas ?)

Pour la vérification... vérifiez.

Pour la somme, elle devrait être nulle, et cela vous rappelle bien sûr un certain barycentre particulier au doux nom de centre de gravité.

3. Une somme annuelle

Remarquez que 1 + j + j², ça ressemble à z1 + z2 + z3 = 0... Et que l'on peut faire des factorisation de façon avoir plein de z1 + z2 + z3...

II. Le complexe du parallélogramme

1. L'affixe de D

Un parallélogramme ABCD, c'est, n'est-ce pas, quand vecteur(AD) = vecteur(BC)... En utilisant les affixes des vecteurs, miracle, on trouve la solution.

2. L'affice de I (quelle idée !)

I, c'est le milieu des diagonales... donc le milieu d'une diagonale... La formule est dans le cours...

III. G et G' sont dans un bateau

1. Cette somme est nulle

En passant en affixe, ça passe comme une lettre à la poste.

2. G et G' sont confondu. G tombe à l'eau...

Rappel : G centre de gravité de ABC <=> vecteur(AG) + vecteur(BG) + vecteur(CG) = vecteur(0). Et donc avec les primes, ont peut avoir une égalité où on trouve des primes et des pas-primes. Et en posant l'hypothèse que G et G' sont confondus, ont arrive à ce qu'on a prouvé en 1. Elle est pas belle la vie ?

IV. Premier exercice domanial

a. Forme algébrique de Z

Pas de secret : on remplace z par x + iy, et on transforme, etc.

b. Domaine heu...

Z réél <=> Im(Z) = 0

~~Après... j'ai trouvé un cercle de rayon 0. Soit. Errare humanum est, comme disait l'autre...~~

EDIT : 15.96 m'informe que je me suis planté. En fait, je vous recommande d'aller lire son commentaire. Voila.

c. Forme la plus simple de Z : Zorro.

~~Comme c'est un point (chez moi), c'est facile. Cette question me laisse à pense que je ne me suis peut-être pas trompé, donc que je ne vais pas chercher une éventuelle erreur.~~

Vous avisez, on va pas tout vous faire quand même !

V. Second exercice domanial

a. Another forme algébrique

Pas de secret : on remplace z par x + iy, et on transforme, avec le conjugué, etc.

b. Domaine heu...

Z réél <=> Im(Z) = 0 (copié-collé d'un certain exercice précédent)

Sauf que cette fois j'ai une droite. Sans oublier qu'elle est privée (la pauvre) d'un point, puisque z ≠ i .

c. Domaine F

Z imaginaire pur <=> Re(Z) = 0. Là, j'ai trouvé un joi cercle, tout rond, privé lui aussi d'un point.

d. Domaine H

A partir d'ici, c'est devenu du grand n'importe quoi, j'en avait marre, et j'ai achevé mon devoir pour pouvoir passer aux exercices...

Donc pour cette question... j'ai pas trouvé. Je me suis embarqué deux ou trois fois dans des calculs d'une longueur me dépassant, puis j'ai décidé de rester sur le plancher des vaches.

VI. Petit exercice pour faire transition

1. Résoudre la petite équation

J'ai écris Z avec a et b, et je n'ai pas trouvé de solution. Comme c'est fait à la va-vite, c'est à prendre, comme on dit, avec des pincettes.

2. Dernière question de niveau 2 (titre qui sert à rien)

a. Forme canonique

La sainte forme est donc une factorisation des z : il faut avoir quelque chose du genre (z-quelque chose)² - des petits trucs. Ça se fait comme pour les équations de cercle.

b. Résolution de l'équation

Pour pouvoir résoudre l'équation, il faut pouvoir mettre au carré le des petits trucs de la question d'avant (ça fait une idendité remarquée, et vous voyez la suite). Théoriquement, ça doit revenir à l'équation du 1.

Devoir Maison de mathématiques 11

Thesa — Sat, 07 Jan 2006 17:27:52 +0000

Encore un devoir de maths...

I. Suites définies à partir d'une même fonction f

1. Etude de la fonction

a. Etude de g(x)

Dans cette première et longue question, il suffit d'appliquer la méthode habituelle : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Donc on dérive la fonction g pour avoir ses variations, comme elle n'est pas monotone, on fait deux cas, on applique le corollaire dans chaque cas, et on donne un encadrement de chaque solution. Notez que ces solutions sont solutions de l'équation g(x) = 0 <=> f(x) - x = 0 <=> f(x) = x. Cette équation (avec x ou avec l) se retrouvera plusieurs fois dans l'exercice, donc pensez à chaque fois aux solutions a et b.

b. Etude de l'intersection et dessin

Mettez en équation l'intersection, et retrouvez l'équation de la question précédente. Quant au dessin...

2. Cas où u0 = 1

a. Dessin

b. Croissance et majoration

Ici, j'ai utilisé une récurrence pour prouver que la suite est croissante, et un autre récurrence pour prouver qu'elle était majorée par 4.

c. Convergence

Il suffit d'utiliser le théorème qui convient du cours.

d. Limite

Pour l'interval, souvenez-vous que la limite ne peut pas être supérieure à un majorant de la suite, ni inférieur à son premier terme (si elle est croissante). Pour la limite, utilisez le théorème du cours qui convient, en utilisant l'interval pour déterminer la solution correcte de l'équation.

3. Cas où u0 = 5

a. re-dessin

b. Croissance et minoration

De nouveau, deux récurrences.

c. Convergence et limite

Utilisez les mêmes théorèmes que pour le 2. pour prouver que la suite est convergente, et pour trouver l'équation donnant la limite. Ici encore, il faudra un encadrement de la limite pour trouver la bonne solution.

II. Des suites qui s'enchevêtrent

1. Calcul

Je vous laisse faire...

2. Suite w

Pour prouver que la suite est géométrique, il suffit d'exprimer Wn+1 en fonction de Vn - Un, donc en fonction de Wn. Normalement, vous devriez avoir une suite de la forme Wn+1 = Wn*q.

Utilisez la formule du cours (feuilles photocopiées) pour exprimer une suite géométrique en fonction de n. Le signe de cette forme est très simple à étudier.

3. Suites adjacentes.

Démontrez tout d'abord que l'une des deux suite est croissante et que l'autre est décroissante. Pour cela, utilisez le signe de la soustraction Un+1 - Un ou Vn+1 - Vn.

Pour démontrer que la limite de la différence est égale à zéro, utilisez la limite de la suite w (limite du cours).

Utilisez la définition des suites adjacentes pour conclure.

4. x

Faites le calcul demandé. Cela doit permettre de conclure sur la suite x.

Pour trouver la limite, utilisez les suites w et x, soit avec un système, soit avec une addition ou une soustraction de ces deux suites.

III. Le dernier exercice

1. Etude de la monotonie de la suite

Utilisez ici le signe de la soustraction Un+1 - Un pour prouver que la suite est monotone.

2. Limite

a. Un > n²

Ici, j'ai utilisé une récurrence. Pensez à développer (n+1)².

b. conclusion sur la limite

Utilisez une comparaison (cf. question précédente) pour en déduire la limite.

3. Expression de la suite

Si vous n'avez pas d'idée de conjecture, calculez les premiers termes.

Pour réaliser la démonstration par récurrence, pensez à développer vos carrés, pour les retrouver dans vos expressions développées.

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I. Grattage et loterie

1. Calculs des probabilités

a. Arbre de probabilité

b. Calcul d'une probabilité manquante

c. Gain algébrique sur l'arbre

2. En utilisant une variable aléatoire...

a. Calcul d'une probabilité manquante

b. Calcul d'un autre probabilité manquante

c. Calcul de la loi de probabilité de X et de l'espérance mathématique E(X)

Jeu de fléchettes

1. Détermination de p1 et p2

2. Pour un évènement n

3. Suite géométrique

III. Tennis

1. Probabilités

a. Probabilité de perdre sachant que l'on a perdu

b. Double faute

c. Mise en jeu réussie

2. Pari

a. Réussir k mises en jeu sur dix

b. Calcul de l'espérance mathématique

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I. Histoires de domino

1. Nombre de dominos du jeu

2. Tirage de trois dominos simultanément

a. Possibilité d'avoir trois doubles

b. Au moins un double

c. aux moins deux dominos où figurent le six

II. Machine binaire

a. Nombre de codes distincts

b. Variable aléatoire du nombre de 1

III. Jetons

1. Tirage de quatre jetons simultanément

2. Quelques évènements

a. Probabilité de B

b. Probabilité du reste

c. Probabilité d'un évènement...

3. Variable aléatoire de gain.

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I. entraînement au QCM

II. Equations du troisième degré et forme exponentielle

III. Super-polynôme

1. Résolution algébrique

a. ib est solution...

b. Recherche de Q ?

c. Résoudre P(z)=0

2. Amusements géométriques

IV. Transformation

1. Quand z n'est que le fruit de votre imagination...

2. Recherche de points invariants

3. Deux cercles

4. Ensemble E

Devoir maison de mathématiques 11

I. Premier exercice

1. Factorisation

2. Dans le plan complexe...

a. Petit triangle

b. Opérations amusantes (n'est-ce pas ?)

3. Une somme annuelle

II. Le complexe du parallélogramme

1. L'affixe de D

2. L'affice de I (quelle idée !)

III. G et G' sont dans un bateau

1. Cette somme est nulle

2. G et G' sont confondu. G tombe à l'eau...

IV. Premier exercice domanial

a. Forme algébrique de Z

b. Domaine heu...

c. Forme la plus simple de Z : Zorro.

V. Second exercice domanial

a. Another forme algébrique

b. Domaine heu...

c. Domaine F

d. Domaine H

VI. Petit exercice pour faire transition

1. Résoudre la petite équation

2. Dernière question de niveau 2 (titre qui sert à rien)

a. Forme canonique

1. Détermination de p₁ et p₂