filyb.info - Pour les flemmards de TS1

Devoir maison de mathématiques 17

Thesa — Thu, 13 Apr 2006 20:24:48 +0000

Voici des conseils pour le second devoir maison de mathématiques sur les probabilités.

I. Grattage et loterie

1. Calculs des probabilités

a. Arbre de probabilité

La construction de l'arbre ne pose pas de difficultés, il suffit de reporter les valeurs de l'énnoncé.

b. Calcul d'une probabilité manquante

Il n'y a que trois éventualités après G, dont deux ont leur probabilité connue. La troisième se calcule aisément à l'aide de cela.

c. Gain algébrique sur l'arbre

Ici, ne pas oublier la déduction du prix initial du billet. Ainsi, un perdant aux deux épreuves aura un gain algébrique de -10 €.

2. En utilisant une variable aléatoire...

a. Calcul d'une probabilité manquante

Pour calculer cette probabilité, il faut utiliser la donnée indiquant que p(X = 190) = 1 / 250. Cet évènement correspond à deux chemin, l'un étant connu, et l'autre comprenant la valeur recherchée.

b. Calcul d'un autre probabilité manquante

Ici, même principe.

c. Calcul de la loi de probabilité de X et de l'espérance mathématique E(X)

Ici, comme d'habitude, il faut calculer la probabilité de X pour chacun de ses valeurs, et appliquer la formule de l'espérance mathématique.

Jeu de fléchettes

1. Détermination de p₁ et p₂

Le calcul de p₁ est facile, il est donné dans l'énnoncé.

Calculer la probabilité de A₂ revient à calculer p[(A₁ et A₂) ou (B₁ et B₂)]. Remarquez que les données de l'énnoncé sont que, pour tout n > 2, p_{A_n-1}(A_n) = 1 / 3 et p_{B_n-1}(B_n) = 4 / 5. Comme A et B sont deux évènements contraires, il faut utiliser le principe des probabilités contraires (p(E) = 1 - P(E)). Ne pas oublier aussi les probabilités totales (les évènements incompatibles) pour pouvoir calculer l'union.

2. Pour un évènement n

Ici, on applique le même raisonnement qu'à la question précédente, mais pour l'évènement n. Concrètement, cela peut se faire avec un raisonnement par récurrence.

3. Suite géométrique

Pour prouver que u est une suite géométrique, il suffit d'exprimer u_n en fonction de p_n-1, puis p_n-1 en fonction de u_n-1, pour avoir u_n en fonction de u_n-1.

On utilise ensuite le terme général d'une suite géométrique, et on étudie la limite.

III. Tennis

1. Probabilités

a. Probabilité de perdre sachant que l'on a perdu

Comme on a la probabilité que le service soit réussis sachant que l'on a perdu le premier, il suffit de faire la soustraction à un, il n'y a que deux issues possibles.

b. Double faute

Ici, il s'agit de la probabilité de perdre les deux services depuis le début, en ne sachant rien.

c. Mise en jeu réussie

La mise en jeu réussie a lieu dans deux cas : soit le premier service est réussi, soit il est loupé et le second est réussi. Il s'agit donc de l'évènement S₁ et (S₁ et S₂).

2. Pari

a. Réussir k mises en jeu sur dix

Il suffit d'expliquer que l'on a une épreuve de Bernoulli, et une loi binomiale, et de donner la formule correspondante.

b. Calcul de l'espérance mathématique

X ne peut prendre que trois valeurs. Attention : le joueur gagne 10 F par mise en jeu réussie ! Pensez aussi que la denière des probabilité peut être calculée à l'aide des deux autres, c'est plus simple.

Calculez ensuite l'espérance mathématique, toujours la même formule.

Some english

Thesa — Wed, 12 Apr 2006 19:06:18 +0000

A l'intention des collés de TS1, ou de ceux qui ne veulent pas être collés...

Voici les réponses aux questions du sujet de bac The light of Day, fournies gracieusement par Aurélien...

anglais1-12-04-06.jpeg 463 ko
anglais2-12-04-06.jpeg 259 ko

Édition du 13 Avril 2006 :

Les deux images ci-dessus ne sont pas soumises au contrat sous lequel est disponible le reste du site.

Ce billet a sucité des réactions de la part de certaines personnes concernées. Je me suis engagé à en discuter avec elles, et je déciderai de ce que je ferai de ce billet après. Ce billet n'est aucunement en condradiction avec la loi française, il s'agit d'un problème de principe, dont je parlerai probablement ici une fois que tout cela sera réglé.

Je tiens cependant à préciser que ce billet est le seul et unique du genre, les autres concernants mes activitées de lycéen étant :

Géologie - Datation par la méthode du Rubidium Strontium avec OpenOffice.org 2, une feuille de calcul au format ouvert OpenDocument Calc permettant de réaliser des calculs fait en classe avec le logiciel propriétaire au format fermé Microsoft Excel.
Des explications pour chaque devoir maison de mathématiques. Ces explications ne donnent en aucun cas des réponses, ce sont uniquement des pistes, les conseils que je donnerai à quelqu'un qui me poserai une question à ce propos. Les notes de ces devoirs maisons ne comptent pas dans la moyenne trimestrielle, il s'agit uniquement d'entraînement, et je fais cela pour aider ceux qui peuvent en avoir beson.

Géologie - Datation par la méthode du Rubidium Strontium avec OpenOffice.org 2

Thesa — Sun, 09 Apr 2006 12:52:23 +0000

La méthode Rubidium Strontium est une méthode de datation radioactive utilisée en géologie. Cette méthode est au programme de SVT de terminale S.

Les géologues étant plus à l'aises avec des courbes qu'avec des formules mathématiques, il ne suffit pas d'entrer une formule dans une calculatrice scientifique pour obtenir l'âge de la pierre à dater. Il est possible d'utiliser un tableur (nous avons vu Excel en cours) pour faire la détermination graphique de l'âge.

Et c'est bien sûr possible avec la suite bureautique OpenOffice.org 2 (libre et gratuite). La méthode change au niveau de la détermination de la pente de la droite de régression, Excel l'affichant sur le graphique, OpenOffice.org Calc utilisant la fonction Pente.

J'ai donc fait une feuille de calcul que vous pouvez utiliser pour faire une datation au Rubidium Strontium : datation_au_rubidium-strontium.ods (12,4 ko).

Devoir maison de mathématiques 16

Thesa — Fri, 07 Apr 2006 19:03:59 +0000

Probabilités au programme, cette semaine.

I. Histoires de domino

Dans tout l'exercice, il n'y a ni ordre ni répétition.

1. Nombre de dominos du jeu

Il existe deux sortes de dominos :

les simples (deux chiffres différents) : pour les composer on prend deux chiffres parmi 7.
les doubles (deux chiffre identiques) : pour les composer on a sept possibilités.

2. Tirage de trois dominos simultanément

Pour faire les autres questions, il faut savoir combien de possibilités de mains différentes existent : on tire 3 dominos parmi 8

a. Possibilité d'avoir trois doubles

On tire trois dominos parmi 7, et on divise par le total de possibilités.

b. Au moins un double

Ici, on peut faire trois cas : un double et deux simples, deux doubles et un simple, trois doubles (cf. a). Les ensembles étant disjoints, on ajoute, et on divise par le total de possibilités.

c. aux moins deux dominos où figurent le six

Il faut déjà calculer le nombre de dominos où figurent le 6. Pour faire cette sorte de dominos, on met un six et ont prend un autre chiffre parmi les septs.

Ensuite, deux cas : deux 6 et un non 6 (nombre de possibilité = nombre de possibilités total - nombre de possibilités de 6), ou trois 6.

II. Machine binaire

a. Nombre de codes distincts

Ici, on fabrique des codes en prenant un chiffre parmi deux, avec ordre et répétition.

b. Variable aléatoire du nombre de 1

Ici, X peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. Pour chacun de ces évènements, il faut calculer le nombre de possibilités, et le diviser par le nombre trouvé en a. pour avoir la probabilité.

Exemple : pour (X = 2) : code composé de deux 1 et de deux 0, on choisit deux places parmi quatre (sans ordre et sans répétition - puisque l'on considère le nombre de un, et non leur place) pour placer les un, et on complète par deux 0.

Ensuite, on fait le joli tableau, on vérifie que la somme des probabilités est de un (très utile), et on calcule l'espérance mathématique avec la formule E(x) = Somme_i=0⁴ X_i×P_i.

III. Jetons

1. Tirage de quatre jetons simultanément

Ici on a un tirage sans ordre ni répétition, donc combinaison.

2. Quelques évènements

Dans tout le reste, il n'y a ni ordre ni répétition.

a. Probabilité de B

Pour former 2000, il faut tirer un jeton 2 parmi deux, et trois jetons marqués 0 parmi 4.

b. Probabilité du reste

Probabilité de A : comme il n'y a que quatre jetons marqué 0, une seule possibilité.
Probabilité de C : on tire 4 jetons blanc parmi 6.
Probabilité de D : pour qu'ils aient tous la même couleur, deux possibilités : quatre blanc parmi 6 ou quatre rouges parmi quatre.
Probabilité de E : comme non E = A, p(E) = 1-p(non E) = 1-p(A).

c. Probabilité d'un évènement...

... que je suppose être P_C(B) = card(C) / card(B) (les deux cardinaux ont été calculés dans les questions précédentes).

3. Variable aléatoire de gain.

Ici, G peut prendre 5 valeurs. On calcule les probabilités les unes après les autres, c'est proche des évènements des questions précédentes, quand ce n'est pas similaire. Pour l'évènement (G = -5), il est plus facile d'utiliser 1 - (la somme des autres probabilités).

Ensuite, on fait le tableau, et on utilise la formule de l'espérance mathématique donnée ci-dessus.

Devoir maison de mathématiques 15

Thesa — Sat, 18 Mar 2006 16:34:15 +0000

Encore un devoir maison, ceux qui n'ont pas pu bosser parce qu'ils ont été à la manifestation ce matin sont excusés et peuvent lire ce billet sans remords.

I. entraînement au QCM

Je ne vais pas donner les solutions du QCM, mais juste une réponse à Bien réfléchir sur les différentes approches permettant d'obtenir rapidement le résultat : utilisez les fonctions complexes de votre calculatrice ! Pour certaines questions (la première notament), cela évite de fastidieux calculs...

II. Equations du troisième degré et forme exponentielle

Pour résoudre une telle équation, il vous faut tout d'abord vérifier que 0 n'est pas solution (car il ne peut s'écrire sous forme exponentielle) puis écrire z et l'autre complexe sous forme exponentielle (avec les deux solutions pour cosinus et sinus, dont uniquement une corespond, etc.). Souvenez-vous ensuite que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs modules et leurs arguments sont égaux, cela devient un système. N'oubliez pas que le à 2 Pi près se divise par trois (écrivez-le sous la forme +2k Pi). En prenant trois valeurs consécutives de k, vous obtiendrez trois solutions.

Une fois le dessin tracé, vous pouvez soit utiliser une rotation d'angle 2Pi/3 (méthode très simple avec la forme exponentielle), soit calculer la longueur des côtés pour prouver que le triangle est équilatéral.

III. Super-polynôme

1. Résolution algébrique

a. ib est solution...

Il suffit de remplacer z par ib et de développer le tout. Sachant que deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales, transformez votre équation en système, et résolvez chacune des équations.

Rappel : un système, c'est deux (au moins) propositions reliées par un et. Donc les solutions du système sont l'intersection des solutions des propositions.

b. Recherche de Q ?

Posez des variables pour écrire Q sous la forme d'un polynôme du second degré, remplacez Q par son expression dans P, et identifiez.

c. Résoudre P(z)=0

Reprenez la forme de P de la question b. Et résolvez les deux facteurs du produit.

2. Amusements géométriques

Là, pas de difficultés, il suffit d'utiliser les formules du cours...

IV. Transformation

1. Quand z n'est que le fruit de votre imagination...

J'ai posé que z=bi, et ait prouvé que Re(z')=0. On m'a dit qu'il y avait plus simple.

2. Recherche de points invariants

Les points invariants sont les points pour lesquels z=z'. Résolvez l'équation obtenue.

3. Deux cercles

Remplacez z' par sa valeur dans l'expression à calculer. Quand M décrit le cercle de centre A et de rayon 2, la distance AM=2. Écrivez cela avec des complexes, utilisez l'expression que vous venez de calculer, et vous devrez normallement trouver le cercle que décris M'.

4. Ensemble E

Dans |z'|=1, remplacez z' par son expression, et vous devriez arriver rapidement à trouver l'ensemble (une médiatrice).

Devoir maison de mathématiques 11

Thesa — Wed, 01 Mar 2006 18:23:02 +0000

Comme j'ai un peu de temps, voici en première filybiale le onzième devoir maison de mathématiques, à l'intention bien sûr des élèves de terminale scientifique 1 qui ont compris que les vacances, ça servait à autre chose qu'à faire des maths.

I. Premier exercice

1. Factorisation

Les bons souvenirs de première S vous rappeleront que a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)...

2. Dans le plan complexe...

a. Petit triangle

Pour la nature du triangle, en calculant la longueur des côtés, c'est immédiat. Rappel : AB = |Zb-Za|.

Pour les coordonnées polaires, par contre... Il me semble qu'on a pas encore vu ça (ou alors j'ai louppé un bout du cours, après tout c'est possible). Mais d'après ce que j'ai lu dans le livre, la forme trigonométrique d'un complexe, c'est quelque chose comme : z = |z|×(cos(arg(z)) + i×sin(arg(z))). Pour en savoir plus, voir Nombres complexes - Formes trigonométrique sur Wikipédia.

b. Opérations amusantes (n'est-ce pas ?)

Pour la vérification... vérifiez.

Pour la somme, elle devrait être nulle, et cela vous rappelle bien sûr un certain barycentre particulier au doux nom de centre de gravité.

3. Une somme annuelle

Remarquez que 1 + j + j², ça ressemble à z1 + z2 + z3 = 0... Et que l'on peut faire des factorisation de façon avoir plein de z1 + z2 + z3...

II. Le complexe du parallélogramme

1. L'affixe de D

Un parallélogramme ABCD, c'est, n'est-ce pas, quand vecteur(AD) = vecteur(BC)... En utilisant les affixes des vecteurs, miracle, on trouve la solution.

2. L'affice de I (quelle idée !)

I, c'est le milieu des diagonales... donc le milieu d'une diagonale... La formule est dans le cours...

III. G et G' sont dans un bateau

1. Cette somme est nulle

En passant en affixe, ça passe comme une lettre à la poste.

2. G et G' sont confondu. G tombe à l'eau...

Rappel : G centre de gravité de ABC <=> vecteur(AG) + vecteur(BG) + vecteur(CG) = vecteur(0). Et donc avec les primes, ont peut avoir une égalité où on trouve des primes et des pas-primes. Et en posant l'hypothèse que G et G' sont confondus, ont arrive à ce qu'on a prouvé en 1. Elle est pas belle la vie ?

IV. Premier exercice domanial

a. Forme algébrique de Z

Pas de secret : on remplace z par x + iy, et on transforme, etc.

b. Domaine heu...

Z réél <=> Im(Z) = 0

~~Après... j'ai trouvé un cercle de rayon 0. Soit. Errare humanum est, comme disait l'autre...~~

EDIT : 15.96 m'informe que je me suis planté. En fait, je vous recommande d'aller lire son commentaire. Voila.

c. Forme la plus simple de Z : Zorro.

~~Comme c'est un point (chez moi), c'est facile. Cette question me laisse à pense que je ne me suis peut-être pas trompé, donc que je ne vais pas chercher une éventuelle erreur.~~

Vous avisez, on va pas tout vous faire quand même !

V. Second exercice domanial

a. Another forme algébrique

Pas de secret : on remplace z par x + iy, et on transforme, avec le conjugué, etc.

b. Domaine heu...

Z réél <=> Im(Z) = 0 (copié-collé d'un certain exercice précédent)

Sauf que cette fois j'ai une droite. Sans oublier qu'elle est privée (la pauvre) d'un point, puisque z ≠ i .

c. Domaine F

Z imaginaire pur <=> Re(Z) = 0. Là, j'ai trouvé un joi cercle, tout rond, privé lui aussi d'un point.

d. Domaine H

A partir d'ici, c'est devenu du grand n'importe quoi, j'en avait marre, et j'ai achevé mon devoir pour pouvoir passer aux exercices...

Donc pour cette question... j'ai pas trouvé. Je me suis embarqué deux ou trois fois dans des calculs d'une longueur me dépassant, puis j'ai décidé de rester sur le plancher des vaches.

VI. Petit exercice pour faire transition

1. Résoudre la petite équation

J'ai écris Z avec a et b, et je n'ai pas trouvé de solution. Comme c'est fait à la va-vite, c'est à prendre, comme on dit, avec des pincettes.

2. Dernière question de niveau 2 (titre qui sert à rien)

a. Forme canonique

La sainte forme est donc une factorisation des z : il faut avoir quelque chose du genre (z-quelque chose)² - des petits trucs. Ça se fait comme pour les équations de cercle.

b. Résolution de l'équation

Pour pouvoir résoudre l'équation, il faut pouvoir mettre au carré le des petits trucs de la question d'avant (ça fait une idendité remarquée, et vous voyez la suite). Théoriquement, ça doit revenir à l'équation du 1.

Devoir Maison de mathématiques 11

Thesa — Sat, 07 Jan 2006 17:27:52 +0000

Encore un devoir de maths...

I. Suites définies à partir d'une même fonction f

1. Etude de la fonction

a. Etude de g(x)

Dans cette première et longue question, il suffit d'appliquer la méthode habituelle : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Donc on dérive la fonction g pour avoir ses variations, comme elle n'est pas monotone, on fait deux cas, on applique le corollaire dans chaque cas, et on donne un encadrement de chaque solution. Notez que ces solutions sont solutions de l'équation g(x) = 0 <=> f(x) - x = 0 <=> f(x) = x. Cette équation (avec x ou avec l) se retrouvera plusieurs fois dans l'exercice, donc pensez à chaque fois aux solutions a et b.

b. Etude de l'intersection et dessin

Mettez en équation l'intersection, et retrouvez l'équation de la question précédente. Quant au dessin...

2. Cas où u0 = 1

a. Dessin

b. Croissance et majoration

Ici, j'ai utilisé une récurrence pour prouver que la suite est croissante, et un autre récurrence pour prouver qu'elle était majorée par 4.

c. Convergence

Il suffit d'utiliser le théorème qui convient du cours.

d. Limite

Pour l'interval, souvenez-vous que la limite ne peut pas être supérieure à un majorant de la suite, ni inférieur à son premier terme (si elle est croissante). Pour la limite, utilisez le théorème du cours qui convient, en utilisant l'interval pour déterminer la solution correcte de l'équation.

3. Cas où u0 = 5

a. re-dessin

b. Croissance et minoration

De nouveau, deux récurrences.

c. Convergence et limite

Utilisez les mêmes théorèmes que pour le 2. pour prouver que la suite est convergente, et pour trouver l'équation donnant la limite. Ici encore, il faudra un encadrement de la limite pour trouver la bonne solution.

II. Des suites qui s'enchevêtrent

1. Calcul

Je vous laisse faire...

2. Suite w

Pour prouver que la suite est géométrique, il suffit d'exprimer Wn+1 en fonction de Vn - Un, donc en fonction de Wn. Normalement, vous devriez avoir une suite de la forme Wn+1 = Wn*q.

Utilisez la formule du cours (feuilles photocopiées) pour exprimer une suite géométrique en fonction de n. Le signe de cette forme est très simple à étudier.

3. Suites adjacentes.

Démontrez tout d'abord que l'une des deux suite est croissante et que l'autre est décroissante. Pour cela, utilisez le signe de la soustraction Un+1 - Un ou Vn+1 - Vn.

Pour démontrer que la limite de la différence est égale à zéro, utilisez la limite de la suite w (limite du cours).

Utilisez la définition des suites adjacentes pour conclure.

4. x

Faites le calcul demandé. Cela doit permettre de conclure sur la suite x.

Pour trouver la limite, utilisez les suites w et x, soit avec un système, soit avec une addition ou une soustraction de ces deux suites.

III. Le dernier exercice

1. Etude de la monotonie de la suite

Utilisez ici le signe de la soustraction Un+1 - Un pour prouver que la suite est monotone.

2. Limite

a. Un > n²

Ici, j'ai utilisé une récurrence. Pensez à développer (n+1)².

b. conclusion sur la limite

Utilisez une comparaison (cf. question précédente) pour en déduire la limite.

3. Expression de la suite

Si vous n'avez pas d'idée de conjecture, calculez les premiers termes.

Pour réaliser la démonstration par récurrence, pensez à développer vos carrés, pour les retrouver dans vos expressions développées.

Devoir Maison de mathématiques 10

Thesa — Thu, 29 Dec 2005 18:13:36 +0000

Le DM de maths de Noël, celui-là même que la classe de TS1 doit faire pendant les vacances scolaires. Quelle plaie, n'est-ce pas ?

I. Premier exercice

1. Détermination des dérivées

Pas de secrets : c'est la méthode boeuf, comme dirait quelqu'un. ( Rappel f(x)=cos(u(x)), f'(x)=-sin(u(x))*u'(x) )

2.

a. Conjecture

Il suffit de regarder les dérivées précédentes. Rappel : (-1)^x est égal une fois sur deux à -1, l'autre fois sur deux à 1.

b. Démonstration

Application normale de la démonstration par récurrence, pour réaliser la démonstration de Pn+1 vraie si Pn vraie, il suffit de dériver deux fois Pn, et de vérifier que l'on obtient Pn+1

II. Second exercice

1. Calculs pour se détendre

Calculs habituels, mettre la racine en puissance peut simplifier les choses...

2. Deuxième suite, parce qu'avec une seule c'est pas drôle

a.

On exprime Vn+1 en fonction de Vn, en utilisant l'expression de Un+1 en fonction de Un, et miracle : on obtient une suite géométrique.

b.

On répond à la question, normalement ça se fait tout seul avec les formules qui vont bien.

3. Comme on aime rigoler, ont fait des sommes et des produits

a.

Ici on applique la formule magique du cours, oui, c'est bien celle que vous ne retenez jamais. La limite est une limite, c'est donc comme pour toutes les limites.

b.

Là, vous vous souvenez subitement que le produit des exponentielles est l'exponentielle de la somme des exposants. Et cette illumination vous permet d'écrire la formule à partir de laquelle vous obtenez la limite.

III. Et le troisième exercice, parce qu'en Terminale S, on est un peu mazo sur les bords

1. La petite fonction, au domaine de définition tordu, parce que les fonctions définies sur R, c'est trop facile.

a. Etude des variations

Une petite dérivée, et le tour est joué. (Quelqu'un serait-il capable de m'expliquer la subtile raison d'être du gras à les dans l'énoncé ?)

b. Déterminer K

Comme vous êtes bien sages et que vous avez tracé une courbe (et à l'échelle, en plus !), vous avez conjecturé les coordonnées du point K. Le calcul de la tangente en ce point vous prouvera que vous avez raison (ou tort, vous avez le droit de vous amuser à faire trois quatre conjectures, plus, ça serait vraiment grave).

2. La suite qu'on admet, parce qu'on est trop con pour faire la démonstration

a. la question qui tue quand vous faites votre brouillon

b. démonstration de l'infériorité de la suite

Par récurrence, ça se fait tout seul.

c. And now... the variability !

Là aussi, par récurrence ça se fait tout seul.

3. Et la suite vé, parce que il n'y a pas encore assez d'inverses dans l'histoire (mazo, j'vous dis)

a. Démonstration de l'arithméticacité et détermination raisonnable et premierthermale de la suite vé

Vous exprimez Vn+1 en fonction de Vn en passant par Un+1 en fonction de Un, et c'est gagné !

b. Enfin la dernière

La formule magique, un petit remplacement, en pouf, c'est fini. Bon, il y a encore une limite, mais comme vous aimez ça, vous la faite en trente seconde chronos, et avec le sourire, ma bonne dame.

Devoir Maison de mathématiques 7

Thesa — Sat, 26 Nov 2005 13:01:13 +0000

Et un D.M. de plus !

I. Exercice I

1. Ensemble de définition

Posez les trois conditions (logarithme et fraction), résolvez le système...

2. Résolutions d'équations et d'inéquations

a. L'équation f(x) = 2

Résolution habituelle : mettre tout au même dénominateur, puis dans le ln, puis passer à l'exponentielle, puis résoudre le polynome.

b. L'inéquations f(x) > 2

Même résolution qu'avant, vous devez arriver à l'équation -x²-x+2>0

II. Exercice II

1. Limites...

Pour la limite en -oo, j'ai décomposé de façon à que h=exp(x), ce qui donne une limite du cours.

Pour la limite en +oo, j'ai factorisé par exp(x) dans le logarithme, de façon à sortir celui-ci.

2. Relimites...

a. limite composée ?

Dans cette question, on est censé utilisée le théorème sur la composée. Il y a plus simple : j'ai sorti le 1/x², et ça se fait tout seul.

b. Encore des limites

Pour la limite en +oo j'ai factorisé le tout par x, pour celle en -oo, j'ai factorisé par x seulement le polynome.

III. Exercice III

Cet exercice est très semblable à l'exercice 111 page 136 du livre de maths qui est guidé, donc je ne vais expliqué que les questions qui y sont différentes.

1. Etude de f

a. Ensemble de définition

Comme d'habitude, on pose la condition, on résoud le polynome, etc. (la réponse est dans le livre )

b. Sens de variation

Voir questions 1b et 1c dans le livre

c. Limites

Voir question 1a dans le livre

2. Construction de la courbe

a. Asymptote oblique

Pour démontrer que Delta est asymptote, voir la question 2a du livre.

Pour trouver la position de la courbe par rapport à Delta, trouvez le signe de la différence. Vous pouvez poser X = exp(-x) pour obtenir un polynome, par exemple.

b. Gribouillage

N'oubliez pas l'échelle !

3. Résolution de l'équation

a. Par le calcul

Voir la question 3a du livre. Une fois que vous avez le Delta du polynome avec des k dedans, vous pouvez discuter en fonction des valeurs de k le nombre de solutions, et donner celles-ci.

b. interprétation graphique

Résoudre (E) équivaut à résoudre f(x) = ln(k). Donc, graphiquement, vous pouvez discuter des solutions de l'intersection de C avec la droite y=ln(k) selon les valeurs de k.

Devoir Maison de mathématiques 6

Thesa — Sat, 12 Nov 2005 11:43:27 +0000

Et un DM de plus !

I. Exercice à partir du bac S Juin 2005

(N.B. : je n'ai pas consulté un quelconque corrigé)

A. Etude de la fonction f

a) Etude des limites :

Pour la limite en +oo, il faut factoriser au dénominateur par exp(x/4). Ensuite, on décompose exp(-x/4), et le tour est joué. La limite en -oo ne devrai pas poser de problèmes.

b) Etude des variations

Ici il n'y a qu'à dériver, et la dérivée est sans difficulté (rappel : la dérivée de exp(u(x)) est exp'(x) = u'(x) * exp(u(x)) ).

B. Etude de l'évolution d'une population

1. Premier modèle

a) Résolution bête et méchante d'une équation différentielle.

b) Ici on utilise la condition initiale pour trouver une solution unique à l'équation.

c) Et là on utilise le logarithme népérien pour résoudre l'équation.

2. Second modèle

a) Pour réaliser cette démonstration, on a l'expression de h'(t) via l'équation (E3) que l'on peut exprimer en fonction de u(t), et l'expression de h(t) en fonction de u(t) que l'on peut dériver. Il suffit ensuite d'arranger l'égalité entre ces deux expressions pour arriver à l'expression de (E2).

b) Ensuite, il suffit de résoudre l'équation, de prendre l'inverse et d'utiliser la condition initiale.

c) Comme u = f, le calcul est déjà fait (En maths, tout s'enchaîne !)

II. Second exercice

A. Etude d'une fonction auxiliaire

1) Sens de variation et limites

Le sens de variation se trouve facilement en dérivant.

La limite en -oo ne pose pas de problèmes avec la forme développée.

Pour la limite en +oo, il faut développer l'expression, puis mettre x*exp(x) en facteur.

2) Solution de l'équation g(x) = 0

Ici on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, et un balayage, par exemple.

3) Signe de g(x)

Avec les deux questions précédentes, on peut faire un tableau de signe.

B. Etude de la fonction f

1) Limites

La limite en -oo peut se faire directement.

Pour la limite en +oo, on peut factoriser par exp(x) au dénominateur, pour sortit x/exp(x) qui est une limite du cours.

2) Asymptote oblique

Il suffit de faire la soustraction, d'étudier la limite en -oo, ça marche très bien, idem pour l'étude des positions.

3) Etude du sens de variation

a) Il suffit pour cela de dériver f(x).

b) Pour cette question, je ne suis pas sûr de ma méthode. J'ai posé la fonction h(x) = px+q, en disant que si cette fonction est tangente à Cf en alpha, c'est que h(alpha) = f(alpha) et h(x) est horizontale. Donc que p = 0, et q = f(alpha).

Pour l'encadrement, je suis partit de l'encadrement de alpha au A.2. et par inégalité successives, j'ai trouvé un encadrement de f(alpha).

c) A partir du signe de g (A.3.), on a le signe de f', donc le sens de variations de f.

4) gribouillage

A vos pinceaux !

Devoir Maison de mathématiques 5

Thesa — Tue, 01 Nov 2005 16:08:52 +0000

Désormais complet

I.

1)

a.

Pour étudier le sens de variation, j'ai posé que a < b et j'ai étudié le signe de la soustraction f(a) - f(b). Comme il est toujours positif, la fonction est toujours croissante (du moins sur l'interval d'étude).

Pour la limite, j'ai factorisé par e^x en bas.

b.

Pour l'équation de la tangente, il suffit d'applique la formule du cours des dérivée.

Pour étudier la position de la tangente, il faut poser qu'une fonction (par exemple h(x)) est la différence de f(x) et du y de la tangente, puis dériver deux fois h(x).

Conseils : ne mettez pas tout sur le même dénominateur, ça simplifie la dérivée.

Rappel : la dérivée de e^u(x) est u'(x)*e^u(x).

c.

Je vous laisse faire les gribouillages tous seuls

2)

a.

En utilisant la formule (f(a+h) + f(a-h)) / 2 = b ça marche. N'oubliez avant de prouver que si a+h appartient à Df, alors a-h appartient aussi à a=Df.

b.

Gribouillez, gribouillez...

II]

1)

a.

Pour l'étude de f', il faut la dérivée, donc calcul de f' et f''. La limite se fait sans problème.

b.

Ici, on utilise le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires, puis soit une dichotomie, soit un balayage pour les valeurs approchées (ici pub pour programme de dichotomie pour les calculatrices CASIO que vous trouverez en visitant la section programmation de ce site).

c.

Comme f' est strictement croissante, c'est négatif avant alpha, positif après, tableau de signe, toussa toussa...

2)

a.

La limite ne devrai pas poser de problèmes (pas de fi), il faut juste décomposer.

b.

Le signe de la chose est positif, because e puissance bidule est toujours et à jamais positif. La limite est à décomposer...

Interprétez l'asymptote oblique.

3)

a.

Vous récupérez le résultat de 1.c. et dessinez un zoli tableau de variation.

b.

Re-corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, re-dichotomie ou balayage, re-pub.

c.

Re 1.c., avec la subtilité de l'interval [0,alpha] qu'il ne faut pas oublier.

a)

gribouillage, la tangente est du coefficient directeur de f'(0) que vous avez peut-être calculé pour le tableau du 1.a.

Devoir Maison de mathématiques 4

Thesa — Fri, 07 Oct 2005 19:20:44 +0000

Attention : une faute s'est glissée dans l'énoncé, corriger g(x) = x^2 + 3x en g(x) = -x^2 + 3x. (Correction de la prof. de maths).

Et voici ce que j'ai fait...

I. Une fonction dont on connaît la dérivée

1. Signe de la fonction v

Avec la dérivée, on peut trouver le sens de variation de v (toujours croissante). Comme v(1) = 0, alors v est négative avant, positive après.

2. Equation de la tangente en x=1 et position relative de la courbe

Formule pour l'équation de la tangente : (T) : y = v'(a)(x-a) + v(a)

MAJ : la fonction v est bien croissante.

Voici ce que je propose comme démonstration (pas sûr, mais je ne vois pas mieux) :

Comme v' ne s'annule pas sur [0;+00[, alors il n'y a pas de point d'inflexion. La courbe C est toujours convexe ou concave, donc toujours au dessus ou au dessous de la tangente.

Comme la dérivée v'(x)=1/x est décroissante, alors les coefficients directeurs des tangentes diminuent, donc la fonction est concave.

Comme la fonction est concave, alors elle est toujours au dessous de la tangente.

3. Approximation affine...

v(a+h) ~= v'(a).h + v(a)

Puis les calculs avec h=1 et h=-0,5

4. et 5. Méthode d'Euler et courbes

J'ai fait les tableaux et les courbes avec un tableur, voici les fichiers dans différents formats (si vous ne savez pas lequel prendre, le format PDF devrait vous convenir...)

Format OpenDocument Spreadsheel (OpenOffice.org 2, StarOffice 8, etc)
Format OpenOffice.org 1.x (OpenOffice, StarOffice 6/7, KOffice, GNUmeric, etc.)
Format PDF (lisible avec Adobe Acrobat Reader)

II. Un problème d'optimisation

(Note : le schéma est vu de dessus !)

a. Exprimer le temps f(x)

rappel : v=d/t <=> t = d/v

Ensuite, f(x) est la somme des temps pour parcourir la distance AH et la distance HB.

b. Etude des variations

MAJ : avec cette dérivée, , ça marche. Pour étudier son signe, il suffit en fait d'étudier le signe de ça : , qui revient à résoudre ceci : .

Un delta plus tard, je trouve enfin que la dérivée s'annule en : , ainsi que son signe.

Un fois qu'on a le signe de la dérivée, on trouve les variations de f, puis le minimum de celle-ci, et on peut conclure.

III. Position relative de deux courbes

Attention : il y a une faute dans l'énoncé ! g(x) = -x^2 + 3x

1. Etude graphique

a. Tracer les courbes

Là, je ne vous aiderez pas... Cherchez tout seuls !

b. Lecture graphique

Indice : la calculatrice ou le papier millimétré sont vos amis !

2. Etude analytique

a. calculer h'(x) et h''(x)

Je pense qu'il n'y a pas trop de problèmes à ce niveau...

b. signe de h''(x) et sens de variation de h'(x)

A partir de cos(x), vous pouvez encadrer h''(x) et en déduire son signe. Le sens de variation de la dérivée seconde vient ensuite tout seul...

c. démontrer que h' s'annule pour une valeur unique et encadrer cette valeur

L'unicité de la solution est démontrable avec le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Pour trouver l'encadrement, on peut utiliser une dichotomie ou un balayage. Ma calculatrice n'ayant pas assez de mémoire pour faire un balayage entre 0 et Pi pour un pas de 10^-2, j'ai utilisé mon programme de dichotomie pour calculatrices casio

d. Sens de variation de h, solution de h(x)=0 et signe de h

Grace à la question précédente, on peut construire un tableau de variation de h, puis on réutilise les corrolaire pour prouver l'unicité de la solution. Ici, un balayage fonctionne très bien avec ma calculatrice.

e. Conclusion

Concluez.

MAJ : correction de la dérivée du II.b. et fin de la question.

MAJ : correction d'une grosse erreur dans le I.2 (c'était trop facile )

MAJ : ajout de la démonstration du I.2

Devoir Maison de mathématiques 3

Thesa — Wed, 28 Sep 2005 18:20:58 +0000

Un nouveau DM de maths en ligne !

I. Exercice 1

La méthode générale consiste à démontrer que lim [ f(0 + h) - f(0) ] / h quand h-> 0 = un réel.

a.

Pour racine de x^3, il suffit d'extraire x^2 de la racine, ce qui donne : sqr(x^3) = abs(x) * sqr(x). MAJ : Il n'est pas nécessaire de faire deux cas, pensez au domaine de définition !.

Réponse : vraie

b.

Ici aussi une valeur absolue, faites deux cas, et la réponse sera vraie !

c.

Faites deux cas pour supprimer la valeur absolue (sin(-x) = -sin(x)). La seule chose à savoir, c'est que lim sin(x) / x quand x -> 0 = 1

Mais comme les deux cas ne donnent pas la même limite, la fonction n'est pas dérivable.

d.

Ici les deux cas sont imposés par la formule de la fonction. Les formules se simplifient facilement, et c'est vrai.

e.

Ici encore deux cas, une simplification facile, et une réponse vraie.

II. Exercice 2

1. Déterminez l'approximation affine

Tout est dans le cours, première page sur les dérivées. Résultat : 1-h

2.

Développez, réduisez, etc la forme du milieu de l'inégalité (remarque : il s'agit de la fonction f moins son approximation), pour trouver h^2 / (h+1).

Encadrez par inégalité h, et transformez jusqu'à avoir l'inégalité demandée.

3.

Faites comme vu en cours (l'erreur est la fonction f moins sont approximation, cf. question précédente).

III. Exercice 3

1.

Ensemble de définition

Étude du signe du polynôme, tableau de signe...

Démonstration de la symétrie

Utilisez soit le changement de repère, soit la formule f(-1/2 + h) - f(-1/2 - h) doit être égal à 0. N'oubliez pas la condition d'appartenance des x au domaine (cf. rappel sur les symétries)

Interval I

Si vous ne trouvez pas, regardez l'énoncé des questions qui suivent

2.

a.

Même formule que dans l'exercice un. La fonction n'est pas dérivable, mais il y a une tangente tout de même...

b.

Pour démontrer que f est dérivable : utilisez la propriété donnée dans la question. Il suffit donc de montrer (formule de l'exercice I.) que x^2 + x est dérivable en tout a sur ]0;+oo[. Ne pas oublier la condition "strictement positive". Une fois qu'on a la dérivée, l'étude du sens de variation est facile.

c.

La limite d'une composée...

3

MAJ : Faites la soustraction en utilisant l'expression conjuguée (c'est à dire en multipliant la différence par [ sqr(x^2 + x) + (x + 1/2) ] / [ sqr(x^2 + x) + (x + 1/2) ].

Développez et réduisez tout ça, vous arriverez à avoir -1/4 au numérateur. Il suffit ensuite d'en étudier la limite pour prouver qu'elle est égale à zéro, puis d'en étudier le signe.

4

Je vais pas vous tracer la courbe, quand même !

Voila, je compléterai au fur et à mesure... Et un jour j'essayerai de trouver un moyen plus présentable pour afficher des maths, parce que là, c'est pas top...

MAJ : correction dans la question I.a. et ajout de la question III.4.

Devoir Maison de mathématiques 2

Thesa — Fri, 16 Sep 2005 19:48:54 +0000

Parce que certains (Nicolas se reconnaîtra) ont eu l'idée que je mette mes brouillons de DM de maths, et parce que je passe des heures à aider les autres au lieu de chercher les réponses, j'ai décidé de mettre sur ce blog une partie de mon brouillon, c'est à dire les raisonnements et compagnie (je n'allai quand même pas tout rédiger). Peut-être que je le ferai chaque semaine, peut-être pas. Expérience à suivre...

I) Exercice 1 :

Ensemble de définition de f(x) :

c'est facile, ]1 ; +oo[

Étude de la limite en plus l'infini de f(x) :

il suffit de factoriser x^2 en haut pour le sortir de la racine, et x en bas. Résultat : -oo

Étude de la limite en 1 de f(x) :

Mise à jour : utilisez l'identité remarquable x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) en haut de la fraction, puis transformez le bas pour avoir racine carrée de x - 1. Simplifiez la fraction et calculez la limite.

Un grand merci à Jérôme et à Bastien

II) Exercice 2 :

1) Pour f(x) = sin(x) - x

On dérive la fonction (rappel : d(x) = sin(x) => d'(x) = cos(x) ), puis on étudie le signe de la dérivée (-1<=cos(x)<=1).

On prouve que f(x) >= 0 (pensez à f(0) = ? ), et on en déduit le résultat.

2) Pour g(x) = sin(x) - x.cos(x)

Pareil qu'avant, n'oubliez pas la dérivée d'une multiplication...

3)

a) Réutilisez le résultat du 2) pour "gendarmer" sin(x)...

b) Utilisez un changement de variable pour avoir sin(-x) / -x

c) Comme dit dans l'énoncé : déduisez ! (lim =1)

4) Limite en 0 de la grosse fonction g(x)

Utilisez sin^2(x)+cos^2(x)=1

III) Exercice 3

1)

Mise à jour :Construisez le tableau de variation en utilisant une symétrie central de la portion donnée en I(0;3). C'est à dire que, par exemple, limite f(x) en -1+ = +oo et lim f(x) en -1- = -oo

2)

a) déterminez a,b et c

Pour trouver c : utilisez f(0) = 3

Pour trouver b : dérivez (f'(x) = (-bx^2 - 2ax + bx - b) / (x^2 - 1)^2 et pas autre chose), et pensez à f'(0)=-4

Pour trouver a : utilisez la limite en +oo de f(x) qui est égale à 3, avec le théorème des limites pour les fonctions rationnelles.

b) déterminer l'équation cartésienne

Rappel : le nombre dérivé en I(0;3) est la pente de la tangente, ensuite une équation du cours que je ne retiens jamais (ou pour les fainéant comme moi une équation à une inconnue) permettent de trouver le reste (y=?x + ?, avec x=0 et y=3)

Étudiez la position

Faites la soustraction qui va bien, et qui est égale à (4x^3)/(x^2-1), puis un tableau de signe, etc.

c) construire le dessin

Pas fait Mais moi et les courbes...

Si vous avez des question, des précision, il y a les commentaires, réponses non garanties.

NB : contrairement à ce qui est écrit ici, ce document est dans le domaine public, ce qui veut dire que vous n'aurez pas de © Florian Birée, 2005 à mettre en bas de votre copie

EDIT : suite à une question de Kévin, mise à jour du III 1)

EDIT : ajout de la solution du I) limite en 1 donnée par Jérôme et Bastien.

filyb.info - Pour les flemmards de TS1

Devoir maison de mathématiques 17

I. Grattage et loterie

1. Calculs des probabilités

a. Arbre de probabilité

b. Calcul d'une probabilité manquante

c. Gain algébrique sur l'arbre

2. En utilisant une variable aléatoire...

a. Calcul d'une probabilité manquante

b. Calcul d'un autre probabilité manquante

c. Calcul de la loi de probabilité de X et de l'espérance mathématique E(X)

Jeu de fléchettes

1. Détermination de p1 et p2

2. Pour un évènement n

3. Suite géométrique

III. Tennis

1. Probabilités

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2. Pari

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Some english

Géologie - Datation par la méthode du Rubidium Strontium avec OpenOffice.org 2

Devoir maison de mathématiques 16

I. Histoires de domino

1. Nombre de dominos du jeu

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c. aux moins deux dominos où figurent le six

II. Machine binaire

a. Nombre de codes distincts

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1. Tirage de quatre jetons simultanément

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Devoir maison de mathématiques 15

I. entraînement au QCM

II. Equations du troisième degré et forme exponentielle

III. Super-polynôme

1. Résolution algébrique

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IV. Transformation

1. Quand z n'est que le fruit de votre imagination...

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3. Deux cercles

4. Ensemble E

Devoir maison de mathématiques 11

I. Premier exercice

1. Factorisation

2. Dans le plan complexe...

a. Petit triangle

b. Opérations amusantes (n'est-ce pas ?)

3. Une somme annuelle

II. Le complexe du parallélogramme

1. L'affixe de D

2. L'affice de I (quelle idée !)

III. G et G' sont dans un bateau

1. Cette somme est nulle

2. G et G' sont confondu. G tombe à l'eau...

IV. Premier exercice domanial

a. Forme algébrique de Z

b. Domaine heu...

c. Forme la plus simple de Z : Zorro.

V. Second exercice domanial

a. Another forme algébrique

b. Domaine heu...

c. Domaine F

d. Domaine H

VI. Petit exercice pour faire transition

1. Résoudre la petite équation

1. Détermination de p₁ et p₂